Question

15．如图，在平面四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点．若|EG|²-|HF|²=1，设|AD|=x，|BC|=y，|AB|=z，|CD|=1，则$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，得出z²+3=x²+y²，$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$=$\frac{2x+y}{{x}^{2}+{y}^{2}+5}$=$\frac{1}{t}$，化简配方，即可求$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$的最大值．

解答 解：如图所示，连接FD，FA，FE，FG，则
x²+4|HF|²=2（|AF|²+|DF|²）①
z²+4|EF|²=2（|AF|²+$\frac{1}{4}$y²）②
1²+4|GF|²=2（|DF|²+$\frac{1}{4}$y²）③
②+③：z²+1+2（2|EF|²+2|GF|²）=2（|AF|²+|DF|²）+y²，
①代入z²+1+2（2|EF|²+2|GF|²）=x²+4|HF|²+y²，
∵2|EF|²+2|GF|²=|EG|²+|HF|²，
∴z²+1+2（|EG|²+|HF|²）=x²+4|HF|²+y²，
∴z²+1+2（|EG|²-|HF|²）=x²+y²，
∵|EG|²-|HF|²=1，
∴z²+3=x²+y²，
∴$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$=$\frac{2x+y}{{x}^{2}+{y}^{2}+5}$=$\frac{1}{t}$，
∴（x-t）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=-5+$\frac{5}{4}$t²≥0，
∴t≥2
∴$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$的最大值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求$\frac{2x+y}{{z}^{2}+8}$的最大值，考查学生分析解决问题的能力，利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，得出z²+3=x²+y²是关键．