Question

20．已知函数f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x；将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得g（x）的图象．
（1）求函数g（x）在[0，π]上的值域；
（2）在△ABC中，若$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$，a=4，求$\sqrt{3}$b-c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$cos2x，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），由x∈[0，π]，利用余弦函数的性质即可得解g（x）在[0，π]上的值域．
（2）由已知及正弦定理可得$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{a}{sinA}$，从而可求tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而可求A，b=8sinB，c=8sinC，由三角函数恒等变换的应用可得$\sqrt{3}$b-c=8sin（B-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=[2sin（x+$\frac{2π}{3}$）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=[2（-$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）+sinx]•cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$sin²x
=$\sqrt{3}$cos2x，
∴将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，可得g（x）=$\sqrt{3}$cos[2（x-$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，π]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-1，1]，可得：g（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，即函数g（x）在[0，π]上的值域为：[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）∵$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$，a=4，又由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴$\frac{\sqrt{3}a}{cosA}$=$\frac{a}{sinA}$，可得：tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，从而A=$\frac{π}{6}$，2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴b=8sinB，c=8sinC，C=$\frac{5π}{6}$-B，
∴$\sqrt{3}$b-c=8[$\sqrt{3}$sinB-sin（$\frac{5π}{6}$-B）]=8sin（B-$\frac{π}{6}$）≤8，
∴当B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{2π}{3}$时，$\sqrt{3}$b-c的最大值为8．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的应用，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．