Question

7．向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（-cosx，$\sqrt{3}$cosx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）．
（1）求使不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$成立的x的取值范围；
（2）记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{B}{2}$）=1，b=1，c=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐标表示，化简求得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由余弦函数图象，即可求得f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集；
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=1，代入f（x）的解析，求得B的值，根据余弦定理，即可求得a的值．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）=$\frac{1}{2}$．$\overrightarrow{m}$²-$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
=$\frac{1}{2}$（cos²x+sin²x）+cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx），
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
f（x）≥$\frac{1}{2}$，即cos（2x+$\frac{π}{3}$）≥-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦函数图象可知：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
解得：x∈[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
使不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$成立的x的取值为：[kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）f（$\frac{B}{2}$）=1，即：cos（B+$\frac{π}{3}$）+1=1，
∴cos（B+$\frac{π}{3}$）=0，B是△ABC内角的内角，
∴B=$\frac{π}{6}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+3-2×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：a=1，
∴a=1．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角恒等变换的应用，突出考单调性，考查转化思想与运算求解能力．属于中档题．