Question

20．已知函数f（x）=3^x+λ•3^-x（λ∈R）
（1）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论当λ=1时，当λ=-1时，当|λ|≠1时，求出f（x）的解析式，运用奇偶性的定义即可判断；
（2）由题意可得3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，令t=3^x∈[1，9]，原不等式等价于λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=3^x+λ•3^-x的定义域为R，
当λ=1时，f（x）=3^x+3^-x，由f（-x）=f（x），可得函数为偶函数；
当λ=-1时，f（x）=3^x-3^-x，由f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数；
当|λ|≠1时，f（1）=3+$\frac{λ}{3}$，f（-1）=$\frac{1}{3}$+3λ，此时f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），
所以函数为非奇非偶函数；
（2）由f（x）≤6得3^x+λ3^-x≤6，即3^x+$\frac{λ}{{3}^{x}}$≤6，
令t=3^x∈[1，9]，
原不等式等价于t+$\frac{λ}{t}$≤6在t∈[1，9]上恒成立，
亦即λ≤6t-t²在t∈[1，9]上恒成立，
令g（t）=6t-t²，t∈[1，9]，
当t=9时，g（t）有最小值g（9）=-27，
所以λ≤-27．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用分类讨论的思想方法和奇偶性的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．