Question

15．已知可导函数f（x）的导函数f′（x）满足f′（x）＞f（x），则不等式$\frac{f（x）}{e^x}＞\frac{f（1）}{e}$的解集是（1，+∞）．

Answer 1

分析 由此想到构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导后结合f'（x）＞f（x），可知函数g（x）是实数集上的增函数，然后利用函数的单调性可求得不等式的解集

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
因为f'（x）＞f（x），
所以g′（x）＞0，
所以，函数g（x）为（-∞，+∞）上的增函数，
由ef（x）＞f（1）e^x，得：，即g（x）＞g（1），
因为函数不等式$\frac{f（x）}{e^x}＞\frac{f（1）}{e}$，
所以g（x）＞g（1），
所以，x＞1．
故答案为（1，+∞）．

点评 本题考查了导数的运算法则，考查了不等式的解法，解答此题的关键是联系要求解的不等式，构造出函数，然后利用导数的运算法则判断出其导函数的符号，得到该函数的单调性．此题是中档题．