Question

3．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{{{log}_a}x，x≥1}\end{array}}\right.$，若a=2，求f（f（2））=0；若f（x）是R上的单调函数，则a的取值范围是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 a=2时便可求出f（x）的解析式，从而可得出f（2）的值，进而得出f（f（2））的值；根据f（x）是R上的单调函数，从而可讨论f（x）为R上的减函数和增函数，然后根据一次函数、对数函数的单调性，函数单调性的定义，以及分段函数单调性的判断便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．

解答 解：a=2时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{5x+8}&{x＜1}\\{lo{g}_{2}x}&{x≥1}\end{array}\right.$；
∴f（2）=1，f（f（2））=f（1）=0；
∵f（x）是R上的单调函数；
∴（1）若f（x）是R上的减函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（3a-1）•1+4a≥lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{7}≤a＜\frac{1}{3}$；
（2）若f（x）是R上的增函数，则：
$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＞0}\\{a＞1}\\{（3a-1）•1+4a≤lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得a∈∅；
∴综上得，a的取值范围是$[\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$．
故答案为：0，$[\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$．

点评 考查分段函数求值的方法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数单调性的定义，以及分段函数单调性的判断．