Question

4．已知平面上三个向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
（1）求（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow c$的值；
（2）若|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c}$|＞1（k∈R），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件及向量数量积的计算公式便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$，进行数量积的运算便可求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$的值；
（2）可由$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|＞1$得出$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}＞1$，这样由（1）及向量数量积的运算便可得出关于k的不等式，解不等式便可求出k的取值范围．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$=1，$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞=120°$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=0；
（2）∵$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|＞1$；
∴$|k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}{|}^{2}＞1$；
∴${k^2}{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}+{\overrightarrow c^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+2k\overrightarrow a•\overrightarrow c+2\overrightarrow b•\overrightarrow c＞1$；
∴k²+1+1-k-k-1＞1；
即k²-2k＞0；
∴k＜0或k＞2；
∴k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 考查向量的模和夹角的概念，向量数量积的运算及其计算公式，以及不等式的性质，一元二次不等式的解法．