Question

19．已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x²-9x+14＜0}，C={x|5-m＜x＜2m}．
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由x²-9x+14＜0，解得2＜x＜7，可得B，A∩B，由集合A={x|3＜x＜10}，可得∁_RA={x|x≤3，或x≥10}，利用并集的运算性质可得：（∁_RA）∪B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，由x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，可得：C?（A∩B）．对C与∅的关系、对m分类讨论即可得出．

解答 解：（I）由x²-9x+14＜0，解得2＜x＜7，∴B={x|2＜x＜7}．
∴A∩B={x|3＜x＜7}，
∵集合A={x|3＜x＜10}，∴∁_RA={x|x≤3，或x≥10}，
∴（∁_RA）∪B={x|x＜7，或x≥10}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，
∵x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，∴C?（A∩B）．
①当C=∅时，满足C?（A∩B），此时5-m≥2m，解得$m≤\frac{5}{3}$；
②当C≠∅时，要使C?（A∩B），当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{5-m＜2m}\\{5-m＞3}\\{2m＜7}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{3}＜m≤2$．
综上所述，实数m的取值范围为（-∞，2]．

点评 本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．