Question

9．函数f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]）称为逻辑斯蒂克函数，此函数也是动物繁衍的数学模型，今有λ=4．
（1）求函数F（x）=[f（x）]²在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的最值；
（2）在函数g（x）=$\frac{f（tanx）}{tanx}$图象的所有切线中，是否存在切线l与直线m：（a+b）x-8$\sqrt{ab}$y+12=0（ab＞0）垂直？请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=4x（1-x），求得单调区间，可得f（$\frac{1}{2}$）取得最大值1，f（$\frac{1}{4}$）或f（$\frac{3}{4}$）取得最小值$\frac{3}{4}$，即可得到所求最值；
（2）求得g（x）的解析式，求出定义域，求得导数，假设存在直线l，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合基本不等式，可得cos²x=1，得出矛盾，即可判断不存在．

解答 解：（1）f（x）=4x（1-x），
f（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]递增，在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]递减，
可得x=$\frac{1}{2}$时f（x）取得最大值1，x=$\frac{1}{4}$或x=$\frac{3}{4}$时，取得最小值$\frac{3}{4}$，
可得F（x）取得最大值1，最小值$\frac{9}{16}$；
（2）g（x）=$\frac{f（tanx）}{tanx}$=$\frac{4tanx（1-tanx）}{tanx}$=4（1-tanx），x≠kπ，且x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
g（x）的导数为g′（x）=-$\frac{4}{co{s}^{2}x}$，
假设存在切线l与直线m：（a+b）x-8$\sqrt{ab}$y+12=0（ab＞0）垂直．
则切线的斜率为k=-$\frac{8\sqrt{ab}}{a+b}$，
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，可得k≥-4，
即有-$\frac{4}{co{s}^{2}x}$≥-4，即为cos²x≥1，
由cos²x≤1，可得cos²x=1，
解得x=kπ，k∈Z，这与），x≠kπ，k∈Z，矛盾．
故不存在切线l与直线m垂直．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及基本不等式的运用和余弦函数的值域，属于中档题．