Question

11．已知函数f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过k为偶数与奇数，求解函数的极值即可．
（2）k=2016，化简关于x的方程f（x）=2ax，构造函数g（x）=x²-2alnx-2ax，求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，利用函数的零点个数，求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
可得$f'（x）=2x-{（-1）^k}2a•\frac{1}{x}$，
当k为奇数时，$f'（x）=2x+\frac{2a}{x}＞0$，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当k为偶数时，$f'（x）=2x-\frac{2a}{x}=\frac{{2{x^2}-2a}}{x}=\frac{{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}}{x}$，
∴f（x）在$（0，\sqrt{a}）$上单调递减，$（\sqrt{a}，+∞）$上单调递增，
∴f（x）有极小值，$f{（x）_{极小值}}=f（\sqrt{a}）=a-2aln\sqrt{a}=a-alna$…（5分）
（2）∵k=2016，则f（x）=x²-2alnx，
令g（x）=x²-2alnx-2ax，$g'（x）=2x-\frac{2a}{x}-2a=\frac{{2{x^2}-2ax-2a}}{x}=\frac{2}{x}（{x^2}-ax-a）$
令g′（x）=0，∴x²-ax-a=0，∵a＞0，x＞0，∴${x_0}=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+4a}}}{2}$．
当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，x₀）上单调递减．
当x∈（x₀，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（x₀，+∞）上单调递增…（9分）
又g（x）=0有唯一解，∴$\left\{{\begin{array}{l}{g（{x_0}）=0}\\{g'（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x_0^2-2aln{x_0}-2a{x_0}=0，①}\\{x_0^2-a{x_0}-a=0，②}\end{array}}\right.$…（10分）
②-①得：2alnx₀+ax₀-a=0⇒2lnx₀+x₀-1=0⇒x₀=1．
∴1²-a-a=0．
∴$a=\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．