Question

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁上，CE=2EC₁，AB=6，M，N分别为棱AB和AD的中点．
（1）求三棱锥M-BDE的体积；
（2）求证：平面C₁MN∥平面BDE．

Answer 1

分析 （I）V_M-BDE=V_E-BDM=$\frac{1}{3}$S_△BDM•CE．
（II）连接AC与MN和BD分别交于F，G两点，连接C₁F和EG，由中位线定理得MN∥BD，由$\frac{CG}{CF}=\frac{CE}{CC′}=2$得EG∥C₁F，故平面C₁MN∥平面BDE．

解答 解：（Ⅰ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，CE=2EC₁，
∴CE=4．
∵CE⊥平面BDM，
∴V_M-BDE=V_E-BDM=$\frac{1}{3}$S_△BDM•CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×6×4$=12．
（Ⅱ）连接AC与MN和BD分别交于F，G两点，连接C₁F和EG．
∵M，N分别是AB和AD的中点，
∴MN∥BD，又∵MN?平面BDE，BD?平面BDE，
∴MN∥平面BDE．
∵$\frac{CE}{EC1}$=$\frac{CG}{GF}$=2，∴EG∥C₁F，
又∵C₁F?平面BDE，EG?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE．
∵C₁F?平面C₁MN，MN?平面C₁MN，C₁F∩MN=F，
∴平面C₁MN∥平面BDE．

点评 本题考查了面面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．