Question

6．已知$\overrightarrow a$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow b$=（-1，$\sqrt{3}$），则|$\overrightarrow a$-$2\overrightarrow b$|的最大值和最小值分别是（　　）

• A． 25，9
• B． 5，3
• C． 16，0
• D． 16，4

Answer 1

分析 根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标求出$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（cosθ+2，sinθ-2\sqrt{3}）$，从而求出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=（cosθ+2）^{2}+（sinθ-2\sqrt{3}）^{2}$，根据两角差的正弦公式化简便可得出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=8sin（\frac{π}{6}-θ）+17$，从而由$-1≤sin（\frac{π}{6}-θ）≤1$便可求出$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}$的范围，进而求出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$的范围，从而得出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$的最大、最小值．

解答 解：$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=（cosθ+2，sinθ-2\sqrt{3}）$；
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=（cosθ+2）^{2}+（sinθ-2\sqrt{3}）^{2}$
=$co{s}^{2}θ+4cosθ+4+si{n}^{2}θ-4\sqrt{3}sinθ+12$
=$8（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）+17$
=$8sin（\frac{π}{6}-θ）+17$；
∵$-1≤sin（\frac{π}{6}-θ）≤1$；
∴$9≤（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}≤25$；
∴$3≤|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|≤5$；
∴$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$的最大值为5，最小值为3．
故选：B．

点评 考查向量坐标的减法和数乘运算，以及向量数量积的计算公式及坐标运算，cos²θ+sin²θ=1，两角差的正弦公式，以及正弦函数的值域，不等式的性质．