Question

15．已知a＞b＞0，试指出$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$，$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析 由不等式的性质可得$\frac{（a-b）^{2}}{8a}＜\frac{（a-b）^{2}}{8b}$，由$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$，然后利用作商法比较$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$与$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$，$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$的大小得答案．

解答 解：$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$＜$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$＜$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$．
事实上，
∵a＞b＞0，
∴$\frac{1}{b}＞\frac{1}{a}＞0$，
又（a-b）²＞0，
∴$\frac{（a-b）^{2}}{8a}＜\frac{（a-b）^{2}}{8b}$；
∵$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}$，
且$\frac{\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}}{\frac{（a-b）^{2}}{8a}}=\frac{4a}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}＞\frac{4a}{（2\sqrt{a}）^{2}}=1$，
$\frac{\frac{（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}}{2}}{\frac{（a-b）^{2}}{8b}}=\frac{4b}{（\sqrt{a}+\sqrt{b}）^{2}}＜\frac{4b}{（2\sqrt{b}）^{2}}=1$，
∴$\frac{（a-b）^{2}}{8a}$＜$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$＜$\frac{（a-b）^{2}}{8b}$．

点评 本题考查不等式的大小比较，考查了作商法，是中档题．