Question

4．若定义在R上的不恒为零的函数f（x）满足：?x，y∈R都有f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），则称函数f（x）为“平方差函数”，下列命题：
（1）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$，则f（x）为“平方差函数”；
（2）若f（x）=kx（k＞0），则f（x）为“平方差函数”；
（3）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为奇函数；
（4）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为增函数．
其中正确命题的序号是（2）（3）（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据平方差函数的定义分别进行验证判断即可．

解答 解：（1）若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{0，x＜0}\end{array}\right.$，
则当x=2，y=1时，
则f²（x）-f²（y）=f²（2）-f²（1）=1-1=0，
f（x+y）f（x-y）=f（3）f（1）=1×1=1，
则f²（x）-f²（y）≠f（x+y）f（x-y），
则f（x）不是“平方差函数”；故（1）错误，
（2）若f（x）=kx（k＞0），
则f²（x）-f²（y）=k²x²-k²y²=k²（x²-y²），
f（x+y）f（x-y）=k（x+y）•k（x-y）=k²（x²-y²），
满足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），f（x）为“平方差函数”；故（2）正确，
（3）若f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），
则令x=y=0，则f²（0）-f²（0）=f（0）f（0）=0，
则f（0）=0，
令x=0，则f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y），
即-f²（y）=f（y）f（-y），
∵f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，
∴-f（y）=f（-y），
即函数f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，
则若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为奇函数正确，故（3）正确；
（4）若f（x）=-x，则f²（x）-f²（y）=x²-y²，f（x+y）f（x-y）=-（x+y）•[-（x-y）]=x²-y²，
满足f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），即f（x）为“平方差函数”，则f（x）此时为减函数，故（4）错误．
故答案为：（2）（3）

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性和单调性的性质，正确理解平方差函数的定义是解决本题的关键．