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    9．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题：
    ①常值函数f（x）=a（a≠0）为回旋函数的充要条件是t=-1；
    ②若f（x）=ax（0＜a＜1）为回旋函数，则t＞1；
    ③函数f（x）=x2不是回旋函数；
    ④若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x）在[0，4032]上至少有2016个零点．
    其中为真命题的是①③④．（写出所有真命题的序号）．

    分析 ①利用回旋函数的定义即可．
    ②若指数函数y=ax为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．
    ③利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；．
    ④由定义得到f（x+2）=-2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2016×2，即可得到．

    解答 解：①函数f（x）=2为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故结论正确．
    ②，若指数函数y=ax为阶数为t回旋函数，则ax+t+tax=0，at+t=0，∴t＜0，∴结论不成立．
    ③设f（x）=x2是回旋函数，则（x+a）2+ax2=0对任意实数都成立，
    令x=0，则必须有a=0，令x=1，则有a2+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论正确，
    ④：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，
    即有f（x+2）=-2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，
    由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2016×2，
    则函数f（x）在[0，4032]上至少存在2016个零点．故结论正确
    故答案为：①③④．

    点评 本题考查命题的真假判断，考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，综合性较强，难度较大．

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    （2）若f（x）=kx（k＞0），则f（x）为“平方差函数”；
    （3）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为奇函数；
    （4）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为增函数．
    其中正确命题的序号是（2）（3）（写出所有正确命题的序号）

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