Question

14．已知|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=13．
（1）求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}$|；
（2）求向量$\overrightarrow a$在$\overrightarrow a-\overrightarrow b$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据条件进行数量积的运算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，从而可以求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，进而求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值；
（2）可设向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角为θ，从而由一个向量在另一个向量方向上投影的定义即可求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$，这样由（1）及条件中$|\overrightarrow{a}|=2$即可求出该投影的值．

解答 解：（1）根据条件：
$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$16-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-27$
=13；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4+12+9=25；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=5$；
（2）设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则：向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$方向上的投影为：
$|\overrightarrow{a}|cosθ=|\overrightarrow{a}|•\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4+6}{5}=2$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及要求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$而求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，向量夹角的概念，以及向量夹角的余弦公式．