Question

4．若函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一的零点x₀，且m＜x₀＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为5．

Answer 1

分析 由题，可将函数有零点的问题转化为方程x²+$\frac{2}{x}$=alnx有一个根，进而再转化为g（x）=x²+$\frac{2}{x}$与r（x）=alnx有一个公共点，然后研究两个函数的单调性，再结合代入整数值比较函数值的大小，确定出两函数公共点的横坐标的取值范围，从而得出m，n的值，问题得解．

解答 解：∵函数f（x）=x²+$\frac{2}{x}$-alnx（a＞0）有唯一的零点x₀，
∴x²+$\frac{2}{x}$=alnx有一个根，即g（x）=x²+$\frac{2}{x}$与h（x）=alnx有一个公共点，
又g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（x^3-1）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）=x²+$\frac{2}{x}$在（0，1）减，在（1，+∞）上增，而由题意知，h（x）=alnx是一个增函数，
故两函数在（1，+∞）上有一个公共点，且过该点存在一条为两函数的公共切线，不妨令该点坐标（s，t），
则必有$\left\{\begin{array}{l}{2s-\frac{2}{{s}^{2}}=\frac{a}{s}}\\{{s}^{2}+\frac{2}{s}=alns}\end{array}\right.$，两式联立，消去a可得${s}^{2}+\frac{2}{s}=（2{s}^{2}-\frac{2}{s}）lns$，
令s=1可得等号左式的值为3，右侧为0；
令s=2可得等号左式的值为5，右侧为7ln2≈4.85＜5；
令s=3可得等号左式的值为9+$\frac{2}{3}$，右侧为（18-$\frac{2}{3}$）ln3＞10．
综上得s∈（2，3），即2＜x₀＜3，所以m=2，n=3．
∴m+n的值为5．
故答案为5．

点评 本题是一个函数零点与导数相结合的综合题，难度较大，考查了问题的转化意识，转化的思想，综合性较强，且解答的最后，要根据求的是整数的问题，用试验性代入整数值进行验证，以确定函数零点的取值范围，这是高中生解答问题中的易忽略点，由于高中数学以培养逻辑推理能力为主，试验的意识较差，导致问题难于最终得解．