Question

14．一个正四棱锥的内切球半径为1，则此正四棱锥体积的最小值为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 先求出正四棱锥体积，再利用导数知识求解即可．

解答 解：设正四棱锥的高为h，底边长为2a，则斜高为$\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}$，
∵正四棱锥的内切球半径为1，
∴由△POG∽△PFE可得$\frac{1}{h-1}=\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{h}^{2}}}$，
∴a²=$\frac{{h}^{2}}{{h}^{2}-2h}$
∴正四棱锥体积V=$\frac{1}{3}×4{a}^{2}h$=$\frac{4}{3}$×$\frac{{h}^{3}}{{h}^{2}-2h}$，
V′=$\frac{{h}^{3}（h-4）}{（{h}^{2}-2h）^{2}}$，
∴0＜h＜4时，V′＜0；h＞4时，V′＞0，
∴h=4时，正四棱锥体积取得最小值，最小值为$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题主要考查球与正四棱锥的关系，考查导数知识的运用，正确求出正四棱锥体积是关键．