Question

19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．

解答 解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．
∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，
∴BC⊥平面A′DE，∵A′O?平面A′DE，
∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，
∴A′O⊥平面BCD．
∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．
在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，
设AD=1，则AB=2，∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AM=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
由△AMD∽△DMO得$\frac{DM}{AM}=\frac{OD}{AD}$，即$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{DO}{1}$，∴DO=$\frac{1}{2}$．
∴A′O=$\sqrt{A′{D}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin∠A′BO=$\frac{A′O}{A′B}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了线面角的作法与计算，根据条件构造线面垂直得出线面角是解题关键．