Question

4．已知函数f（x）的定义域为R，且f′（x）+f（x）=2xe^-x，若f（0）=1，则函数$\frac{f′（x）}{f（x）}$的取值范围为（　　）

• A． [-2，0]
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由题意可得g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=2x，得到g（x）=x²+c（其中c为常数），进一步可得f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{{e}^{x}}$，结合f（0）=1求得c=1，得到f（x）的解析式，求导后可得$\frac{f′（x）}{f（x）}=\frac{2x-{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}=-1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，然后对x分类求得函数$\frac{f′（x）}{f（x）}$的取值范围．

解答 解：由f′（x）+f（x）=2xe^-x，
得$\frac{f′（x）+f（x）}{{e}^{-x}}=2x$，即e^xf′（x）+e^xf（x）=2x，
令g（x）=e^xf（x），则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=2x，
∴g（x）=x²+c（其中c为常数），
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{{e}^{x}}$，
又f（0）=1，
∴c=1，则f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{2x-{x}^{2}-1}{{e}^{x}}$，
∴$\frac{f′（x）}{f（x）}=\frac{2x-{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}=-1+\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
当x=0时，$\frac{f′（x）}{f（x）}=-1$，
当x≠0时，$\frac{f′（x）}{f（x）}=-1+\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$，
∵$x+\frac{1}{x}∈（-∞，-2]∪[2，+∞）$，
∴$\frac{f′（x）}{f（x）}$∈[-2，0]．
故选：A．

点评 本题考查导数的运算，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，训练了利用基本不等式求函数的最值，题目设置难度较大．