Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n，则使该数列的n项和S_n不小于2016的最小自然数n等于7．

Answer 1

分析 化简a_n+2=5a_n+1-6a_n可得a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n），a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），从而可知数列{a_n+1-2a_n}，{a_n+1-3a_n}成等比数列，从而求得．

解答 解：∵a_n+2=5a_n+1-6a_n，
∴a_n+2-2a_n+1=3（a_n+1-2a_n），
a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），
又∵a₂-2a₁=13-10=3，a₂-3a₁=13-15=-2，
∴数列{a_n+1-2a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
数列{a_n+1-3a_n}是以-2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=3ⁿ，a_n+1-3a_n=-2ⁿ，
∴a_n=3ⁿ+2ⁿ，a₁=5也成立；
故S_n=（3+2）+（4+9）+…+（3ⁿ+2ⁿ）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）+2（2ⁿ-1）≥2016，
故n≥7，
故答案为：7．

点评 本题考查了数列的性质的判断及应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，同时考查了构造法的应用．