Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点M（x₀，y₀）为椭圆C上一点，点F₁、A₁，A₂分别是椭圆C的左焦点、左顶点，右顶点．满足过M与左、右两顶点A₁，A₂的连线斜率的积为-$\frac{1}{2}$且|F₁A₁|=$\sqrt{2}$-1，求椭圆方程．

Answer 1

分析 点M（x₀，y₀）为椭圆C上一点，所以满足椭圆方程，根据斜率的积为-$\frac{1}{2}$，化简即可．

解答 解：由题意可得，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，$所以{y}_{0}^{2}={b}^{2}•\frac{{a}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
所以$a=\sqrt{2}b$，则$c=b，\\;a=\sqrt{2}c$$a=\sqrt{2}c$，又|F₁A₁|=a-c，所以$a=\sqrt{2}，c=b=1$，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线的斜率．