Question

16．已知△ABC的外心为O，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则cos∠BAC的值是$±\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用向量的运算得出4|$\overrightarrow{OA}$|²=9|$\overrightarrow{OB}$|²+16|$\overrightarrow{OC}$|²+24$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$，再利用外接圆得出4R²=25R²+24R²cos∠BOC，cos∠BOC=-$\frac{7}{8}$，
最后利用圆的几何性质，二倍角公式求解即可．

解答 解：∵△ABC的外心为O，且2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，半径为R
∴-2$\overrightarrow{OA}$=3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$，
平方得出：4|$\overrightarrow{OA}$|²=9|$\overrightarrow{OB}$|²+16|$\overrightarrow{OC}$|²+24$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$
∴4R²=25R²+24R²cos∠BOC
cos∠BOC=-$\frac{7}{8}$，
∵根据圆的几何性质得出：∠BOC=2∠BAC，
-$\frac{7}{8}$=2cos²∠BAC-1，
∴cos∠BAC=$±\frac{1}{4}$
故答案为：$±\frac{1}{4}$

点评 本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题