Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=-2S_nS_n-1（n≥2），则S₂₀₀=$\frac{1}{400}$．

Answer 1

分析 a_n=-2S_nS_n-1化简可得$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，从而可判断数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而求得．

解答 解：∵a_n=-2S_nS_n-1，
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n-1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-2，
即$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=2，
故数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n，
故S_n=$\frac{1}{2n}$，
故S₂₀₀=$\frac{1}{400}$，
故答案为：$\frac{1}{400}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用及构造法的应用．