Question

11．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（-1）ⁿ•n+2ⁿ，n∈N^*，则这个数列的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-\frac{n+5}{2}，}&{n为奇数}\\{{2}^{n+1}+\frac{n-4}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：当n为偶数时，S_n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+1+n）]+（2+2²+…+2ⁿ）
=$\frac{n}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹+$\frac{n}{2}$-2；
当n为奇数时，S_n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+2+n-1）-n]+（2+2²+…+2ⁿ）
=$\frac{n-1}{2}$-n+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-$\frac{n}{2}$-$\frac{5}{2}$；
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-\frac{n+5}{2}，}&{n为奇数}\\{{2}^{n+1}+\frac{n-4}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．