Question

12．设直线l：x+2y-2=0，交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A、B两点，在椭圆C上找一点P，使△ABP面积最大，求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析 设P（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式和三角函数性质求出点P到直线l的距离的最大值d_max，联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25y²-32y-20=0，由弦长公式求出|AB|，由此能求出△ABP面积的最大值．

解答 解：∵直线l：x+2y-2=0，交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A、B两点，在椭圆C上找一点P，使△ABP面积最大，
∴设P（3cosθ，2sinθ），
点P到直线l的距离：d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（θ+α）-2|}{\sqrt{5}}$，
∴d_max=$\frac{|-5-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25y²-32y-20=0，
△=（-32）²-4×25×（-20）=3024＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{32}{25}$，y₁y₂=-$\frac{20}{25}$=-$\frac{4}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{[1+\frac{1}{（-\frac{1}{2}）^{2}}]}[（\frac{32}{25}）^{2}-4×（-\frac{4}{5}）]$=$\frac{12\sqrt{105}}{25}$，
∴△ABP面积的最大值S_max=|AB|•d_max=$\frac{1}{2}$×$\frac{12\sqrt{105}}{25}×\frac{7\sqrt{5}}{5}$=$\frac{42\sqrt{21}}{25}$．

点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆参数方程、弦长公式、三角函数性质的合理运用．