Question

20．给出下列命题：
①曲线的切线一定和曲线只有一个交点；
②“可导函数y=f（x）在一点的导数值为0”是“函数y=f（x）在这点取得极值”的必要不充分条件；
③若f（x）在（a，b）内存在导数，则“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）内单调递减的充要条件；
④求曲边梯形的面积用到了“以直代曲”的思想，在“近似代替”中，函数f（x）在区间[x_i，x_i+1]上的近似值可以是该区间内任一点的函数值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]）
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据切线定义列举一个反例进行判断，
②根据函数极值的定义和充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据函数单调性和导数的关系进行判断，
④根据“以直代曲”的思想进行判断．

解答 解：①曲线的切线一定和曲线只有一个交点，错误，y=cosx在（0，1）处的切线和y=cosx有无数个交点，故②错误．
②若可导函数y=f（x）在一点的导数值为0，则函数y=f（x）在这点不一定取得极值，比如函数f（x）=x³，在x=0处就取不到极值，即充分性不成立，
若函数y=f（x）在这点取得极值，则可导函数y=f（x）在一点的导数值为0，即必要性成立，
则“可导函数y=f（x）在一点的导数值为0”是“函数y=f（x）在这点取得极值”的必要不充分条件；成立，故②正确，
③若f（x）在（a，b）内存在导数，则“f′（x）＜0”是f（x）在（a，b）内单调递减的充要条件；错误，
函数f（x）=-x³，在（-1，1）内单调递减，但f′（x）=-3x²≤0，故③错误，
④求曲边梯形的面积，在“近似代替”中，函数f（x）在区间[x_i，x_i+1]上的近似值可以是该区间内任一点的函数值f（ξ_i）（ξ_i∈[x_i，x_i+1]），正确，故④正确，
故正确的是②④，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．