Question

8．已知函数f（x）满足条件：当x＞0时，f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞1，则下列不等式正确的是（　　）

• A． f（1）+3≥4f（2）
• B． f（1）+3＞4f（2）
• C． f（1）+3＜4f（2）
• D． f（2）+3＞4f（4）

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x）-x²，得到g（x）在（0，+∞）递增，有g（1）＜g（2），从而得到答案．

解答 解：∵x＞0时，f（x）+$\frac{1}{2}$xf′（x）＞1，
∴x＞0时，2f（x）+xf′（x）-2＞0，
令g（x）=x²f（x）-x²，
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x=x[2f（x）+xf′（x）-2]＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∴g（1）＜g（2），
即f（1）-1＜4f（2）-4，
即f（1）+3＜4f（2），
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=x²f（x）-x²是解题的关键，本题是一道中档题．