Question

17．已知函数f（x）=x|x+1|，x∈[-2，2]．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）求f（x）的值域；
（3）试根据图象关系，解不等式f（x）≥-$\frac{1}{2}$（x+1）．

Answer 1

分析 （1）运用分段函数的形式写出f（x），并画图；
（2）讨论x的范围，当-1≤x≤2时，当-2≤x＜-1时，求得f（x）的解析式，由配方结合单调性，可得值域；
（3）作出直线y=-$\frac{1}{2}$（x+1），代入y=x|x+1|，解得x=-1或-$\frac{1}{2}$，由图象即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1），-1≤x≤2}\\{-x（x+1），-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
可得图象如右：
（2）当-1≤x≤2时，f（x）=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
x=-$\frac{1}{2}$时取得最小值-$\frac{1}{4}$；x=2时，取得最大值6，
则f（x）∈[-$\frac{1}{4}$，6]；
当-2≤x＜-1时，f（x）=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，递增，
可得f（x）∈[-2，0）；
即有函数的值域为[-2，6]；
（3）作出直线y=-$\frac{1}{2}$（x+1），
代入y=f（x）=x|x+1|，可得x=-1或-$\frac{1}{2}$，
由图象可得x=-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤2时，f（x）的图象在直线的上方．
则不等式的解集为{x|x=-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤2}．

点评 本题考查含绝对值函数的图象的画法，函数的值域的求法，以及不等式的解法，注意运用分段函数和二次函数的单调性，以及图象关系，考查运算能力，属于中档题．