Question

7．平行四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=6，|$\overrightarrow{AD}$|=4，若点M，N满足：$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN}$=2$\overrightarrow{NC}$，则$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{NM}$=9．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NM}$，在进行计算．

解答 解：∵$\overrightarrow{BM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{DN}$=2$\overrightarrow{NC}$，
∴$\overrightarrow{NC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CM}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{NM}$=（$\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$）•（$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{3}{16}{\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{1}{3}×$36-$\frac{3}{16}×16$=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．