Question

15．如图，扇形OAB的中心角为直角，半径为1，点P为扇形OAB的弧$\widehat{AB}$上任意一点，设$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OA}$（x，y∈R），$\overrightarrow a$=（x，y），$\overrightarrow b$=（${\sqrt{3}$，1），则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值为（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得x²+y²=1（0≤x≤1，0≤y≤1）．得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$，令x=cosθ（0°≤θ≤90°）换元，化为关于θ的三角函数后利用辅助角公式化积，再由θ的范围求得$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值．

解答 解：如图，
∵∠AOB=90°，且OA=OB=1，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OA}$，
∴x²+y²=1（0≤x≤1，0≤y≤1）．
又$\overrightarrow a$=（x，y），$\overrightarrow b$=（${\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+y$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$，
令x=cosθ（0°≤θ≤90°），
则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$\sqrt{3}x+\sqrt{1-{x}^{2}}$=sinθ$+\sqrt{3}cosθ$=2sin（θ+30°），
∵0°≤θ≤90°，
∴30°≤θ+30°≤120°，
则$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）_{min}=2×\frac{1}{2}=1$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了三角函数的最值的求法，是中档题．