Question

6．春节期间，小明得到了10个红包，每个红包内的金额互不相同，且都不超过200元．已知红包内金额在（0，50]的有3个，在（50，100]的有4个，在（100，200]的有3个．
（I）若小明为了感谢父母，特地随机拿出两个红包，给父母各一个，求父母二人所得红包金额分别在（50，100]和（100，200]的概率；
（Ⅱ）若小明要随机拿出3个红包的总金额给爷爷、奶奶和外公、外婆买礼物，设他所拿出的三个红包金额在（50，100]的有X个，求X的分布列及其期望．

Answer 1

分析 （I）设“父母二人所得红包金额分别在（0，50]和（100，200]”为事件A，由此利用等可能事件概率计算公式父母二人所得红包金额分别在（50，100]和（100，200]的概率．
（II）由题意随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I）设“父母二人所得红包金额分别在（0，50]和（100，200]”为事件A，
则 $P（A）=\frac{C_3^1C_3^1A_2^2}{{A_{10}^2}}=\frac{1}{5}$．
（II）（7分）由题意，X=0，1，2，3，
$P（X=0）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

∴X的期望为：$EX=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=1.2$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．