Question

16．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101-150为轻度污染；151-200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．
（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）
（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．
（2）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．

解答 解：（1）从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，
空气质量良的天数为4，
∴该样本中空气质量优良的频率为$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
从而估计该月空气质量优良的天数为30×$\frac{3}{5}$=18．
（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为$\frac{3}{5}$，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
且ξ～B（3，$\frac{3}{5}$），
P（ξ=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{36}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=3）=（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=1.8．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．