Question

8．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设曲线C的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线C上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线l：y=-2分别交于点M，N．
（1）设直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2$\sqrt{3}$，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（1）由题意，A（0，1），B（0，-1），令P（x₀，y₀），则x₀≠0，直线AP的斜率k₁=$\frac{y0-1}{x0}$，BP的斜率k₂=$\frac{y0+1}{x0}$．由点P在椭圆上能证明k₁k₂为定值．
（2）由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），直线BP的方程为y-（-1）=k₂（x-0），求出直线AP与直线l的交点M，直线BP与直线l的交点N，由此能求出线段MN长的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2$\sqrt{3}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2a+2c=4+2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$…（4分）
证明：（Ⅱ）（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$的上、下顶点分别为A、B，
∴由题意，A（0，1），B（0，-1），令P（x₀，y₀），则x₀≠0，
∴直线AP的斜率k₁=$\frac{y0-1}{x0}$，BP的斜率k₂=$\frac{y0+1}{x0}$．
又点P在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}$=1（x₀≠0），
从而有k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-1}{{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．
即k₁k₂为定值． …（7分）
解：（2）由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k₁（x-0），
直线BP的方程为y-（-1）=k₂（x-0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1={k}_{1}x}\\{y=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{{k}_{1}}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=kx}\\{x=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{{k}_{2}}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AP与直线l的交点M（-$\frac{3}{{k}_{1}}$，-2），
直线BP与直线l的交点N（-$\frac{1}{{k}_{2}}$，-2）．
又k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴|MN|=|-$\frac{3}{{k}_{1}}+\frac{1}{{k}_{2}}$|=|$\frac{3}{{k}_{1}}+4{k}_{1}$|=|$\frac{3}{{k}_{1}}$|+|4k₁|
≥2$\sqrt{|\frac{3}{{k}_{1}}|•4{k}_{1}}$=4$\sqrt{3}$，
当且仅当|$\frac{3}{{k}_{1}}$|=|4k₁|，即k₁=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时等号成立，
故线段MN长的最小值是4$\sqrt{3}$．…（13分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线斜率乘积的最小值的求法，考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．