Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，左顶点（-4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$，左顶点（-4，0），求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．

解答 解：（1）∵左顶点为A（-4，0），∴a=4，
又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=2，
又∵b²=a²-c²=16-4=12，…（2分）
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．…（3分）
（2）直线的方程为y=k（x+4），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，消元得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{[k（x+4）]^{2}}{12}=1$，
化简得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，
∴${x}_{1}=-4，{x}_{2}=\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$，…（6分）
∴D（$\frac{-16{k}^{2}+12}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{24k}{4{k}^{2}+3}$），又∵点P为AD的中点，∴P（$\frac{-16{k}^{2}}{4{{k}^{2}+3}_{\;}}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
则k_OP=-$\frac{3}{4k}$（k≠0），…（9分）
直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k_OP•k_EQ=-1，
即-$\frac{3}{4k}•\frac{n-4k}{m}=-1$，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+12=0}\\{-3n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=0}\end{array}\right.$，
因此定点Q的坐标为（-3，0）…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用．