Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|＜\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$时，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件：d=r，可得b=1，结合a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线为y=k（x-2），代入椭圆方程x²+2y²=2，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，化简整理解不等式即可得到所求直线的斜率的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
以x²+y²=b²的圆与直线x-y+$\sqrt{2}$=0相切，可得
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}$=b，即b=1，
即为a²-c²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线为y=k（x-2），
代入椭圆方程x²+2y²=2，可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
可得△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
即为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（8{k}^{2}-2）}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2-4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
由题意可得$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{2-4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
化简可得56k⁴+38k²-13＞0，
解得k²＞$\frac{1}{4}$，即有k＞$\frac{1}{2}$或k＜-$\frac{1}{2}$，
综上可得直线的斜率的范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线和圆相切的条件：d=r，考查直线的斜率的范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．