Question

9．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；
（Ⅱ）求三棱锥A-CDF的体积．

Answer 1

分析 （I）根据等腰三角形和等腰梯形性质可得∠ADB=90°，又BD⊥AE，得出BD⊥平面ADE，故而平面BDE⊥平面AED；
（II）V_A-CDF=V_F-ACD．

解答 证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，
∵∠DAB=60°，∴∠CDA=∠DCB=120°
又∵CB=CD，
∴∠CDB=30°，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
又∵AE⊥BD，AE?平面ADE，AD?平面ADE，AD∩AE=A，
∴BD⊥平面AED，
又∵BD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面AED．
（Ⅱ）∵CB=CD=AD=a，∠ADC=120°，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}×a×a×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$，
∵FC⊥平面ABCD，且CF=a，
∴${V_{A-CDF}}={V_{F-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•FC=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$，
∴三棱锥A-CDF的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．