Question

1．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=-2．

Answer 1

分析 由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{BD}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展开$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$后代值得答案．

解答 解：如图，
∵$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
又D为AC中点，
∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{6}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{2}{3}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$（\frac{1}{6}-\frac{2}{3}）×4=-2$．
故答案为：-2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量的加法与减法法则，是中档题．