Question

11．如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=BC=CD=4，BD=4$\sqrt{2}$，E，F分别为AC，CD的中点，G为线段BD上一点，且BE∥平面AGF．
（Ⅰ）求BG的长；
（Ⅱ）当直线BE∥平面AGF时，求四棱锥A-BCFG的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连DE交AF于M，得到M为△ACD的重心，证明BE∥GM，然后求解BG的长．
（Ⅱ）取BD的中点为O，连AO，CO证明AO⊥平面BCD，然后求解几何体的体积．

解答 解：（Ⅰ）连DE交AF于M，则M为△ACD的重心，且$\frac{DM}{ME}=\frac{2}{1}$
∵BE∥平面AGF，∴BE∥GM，$\frac{DG}{BG}=\frac{2}{1}$
∴$BG=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$…（6分）
（Ⅱ）取BD的中点为O，连AO，CO，则$AO=CO=2\sqrt{2}$，∴AO⊥OC，AO⊥BD，从而AO⊥平面BCD
∴$V_{A-BCD}^{\;}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×2\sqrt{2}=\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$，
∴${V_{A-FDG}}=\frac{1}{3}{V_{A-BCD}}$，
从而${V_{A-BCFG}}=\frac{2}{3}{V_{A-BCD}}$=$\frac{{32\sqrt{2}}}{9}$．…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，空间点线面的距离，考查空间想象能力以及计算能力．