Question

20．国家旅游局确定2016年以“丝绸之路旅游年”为年度旅游宣传主题，甘肃武威为配合国家旅游局，在每张门票后印有不同的“丝绸之路徽章”．某人利用五一假期，在该地游览了文庙，白塔寺，沙漠公园，森林公园，天梯山石窟五处景点，并收集文庙纪念徽章3枚，白塔纪念徽章2枚，其余三处各1枚．，现从中任取4枚．
（Ⅰ）求抽取的4枚中恰有3个景点的概率；
（Ⅱ）抽取的4枚徽章中恰有文庙纪念徽章的个数为ξ枚，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，由此利用互斥事件概率加法公式能求出抽取的4枚中恰有3个景点的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）记“抽取的4枚徽章中恰有3个景点”为事件A，…（1分）
$P（A）=\frac{C_3^2•（C_2^1•C_3^1+C_3^2）+C_2^2•（C_3^1•C_3^1+C_3^2）}{C_8^4}=\frac{39}{70}$．…（5分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，…（6分）
$p（ξ=0）=\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{5}{70}$，
$p（ξ=1）=\frac{C_3^1C_5^3}{C_8^4}=\frac{30}{70}$，
$p（ξ=2）=\frac{C_3^2C_5^2}{C_8^4}=\frac{30}{70}$，
$p（ξ=3）=\frac{C_3^3C_5^1}{C_8^4}=\frac{5}{70}$，…（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

…（12分）
$Eξ=0×\frac{1}{14}+1×\frac{3}{7}+2×\frac{3}{7}+3×\frac{1}{14}=\frac{21}{14}$=$\frac{3}{2}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．