Question

12．命题p：sinθ-$\frac{1}{tanθ}$=tanθ-$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜$\frac{π}{4}$）无实数解，命题q：e^x+$\frac{1}{lnx}$=lnx+$\frac{1}{e^x}$无实数解． 给出下列命题：①“p或q”；②“（?p）或q”；③“p且（?q）”； ④“p且q”．其中假命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 对于命题p：利用$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，1）单调递减，由0＜sinθ＜tanθ＜1，即可判断出真假；
对于命题q：又 ${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}⇒{e^x}-lnx=\frac{{lnx-{e^x}}}{{{e^x}lnx}}$，当x＞0时，易知e^x-lnx＞0，可得$lnx=-\frac{1}{e^x}$，由同一坐标系中y=lnx，$y=-\frac{1}{e^x}$的图象知，存在x₀∈（0，1），使$ln{x_0}=-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}$，即可判断出结论．

解答 解：对于命题p：$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（0，1）单调递减，由0＜sinθ＜tanθ＜1，得$sinθ+\frac{1}{sinθ}＜tanθ+\frac{1}{tanθ}（0＜θ＜\frac{π}{4}）$，命题p为真；
对于命题q：又 ${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}⇒{e^x}-lnx=\frac{{lnx-{e^x}}}{{{e^x}lnx}}$，当x＞0时，易知e^x-lnx＞0，∴$lnx=-\frac{1}{e^x}$，
由同一坐标系中y=lnx，$y=-\frac{1}{e^x}$的图象知，存在x₀∈（0，1），使$ln{x_0}=-\frac{1}{{{e^{x_0}}}}$，故${e^x}+\frac{1}{lnx}=lnx+\frac{1}{e^x}$有实数解，命题q为假．
可知②④为假命题，
故选：C．

点评 本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．