Question

2．设ξ为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，ξ为这两条棱所成的角．
（1）求概率$P（ξ=\frac{π}{2}）$；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）从正四棱锥的8条棱中任选2条，共有${C}_{8}^{2}$种不同方法，其中“ξ=$\frac{π}{2}$”包含了两种情形：从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法；从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法．由此能求出概率P（ξ=$\frac{π}{2}$）．
（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

解答 解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选2条，共有${C}_{8}^{2}$种不同方法，
其中“ξ=$\frac{π}{2}$”包含了两种情形：
①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法，
②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，
∴P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{4+2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$．
（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$，
“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共同点种不同方法，
∴P（ξ=0）=$\frac{2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{4+2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$．
P（ξ=$\frac{π}{3}$）=1-P（ξ=0）-P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{7}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{5}{7}$	$\frac{3}{14}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{14}+\frac{π}{3}×\frac{5}{7}+\frac{π}{2}×\frac{3}{14}$=$\frac{29π}{84}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意立体几何性质的合理运用．