Question

2．若函数f（x）=$\frac{a-sinx}{cosx}$在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． （-$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 可求导数得到$f′（x）=\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$，而根据f（x）在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上单调递增即可得出$a≥\frac{1}{sinx}$在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立，而可求出sinx在$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上的范围，从而便可得出实数a的取值范围．

解答 解：$f′（x）=\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$；
∵f（x）在区间$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上单调递增；
∴f′（x）≥0在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
即asinx-1≥0在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
即$a≥\frac{1}{sinx}$在$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$上恒成立；
∵$x∈（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}）$，∴$\frac{1}{2}＜sinx＜\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{2}{\sqrt{3}}＜\frac{1}{sinx}＜2$；
∴a≥2；
∴实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选A．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及商的导数的计算公式，不等式的性质，能求正弦函数在一区间上值域．