Question

19．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）之间的参加者有8人．
（1）求n的值并补全频率分布直方图；
（2）已知[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30，35）岁的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）先求出年龄在[35，40）之间的频率，由此能求出n，从而能求出第二组的频率，进而能求出第二组的矩形高，由此能补全频率分布直方图．
（2）由（1）知，[30，35）之间的人数为12，又[35，40）之间的人数为8，采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）岁中有3人，[35，40）岁中有2人，由题意，随机变量ξ的甩有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）年龄在[35，40）之间的频率为0.04×5=0.2，
∵$\frac{8}{n}$=0.2，∴n=$\frac{8}{0.2}$=40，
∵第二组的频率为：
1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴第二组的矩形高为：$\frac{0.3}{5}$=0.06，
∴频率分布直方图如右图所示．
（2）由（1）知，[30，35）之间的人数为0.06×5×40=12，
又[35，40）之间的人数为8，
∵[30，35）岁年龄段人数与[35，40）岁年龄段人数的比值为12：8=3：2，
∴采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）岁中有3人，[35，40）岁中有2人，
由题意，随机变量ξ的甩有可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．