Question

16．已知一次函数f（x）满足f（x+1）+f（x）=2x+3对任意实数x都成立．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）是定义在区间[-1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，g（x）=f（x），求g（x）的
解析式．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，即可得到$\left\{\begin{array}{l}{2k=2}\\{k+2b=3}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）设x＜0，利用函数是偶函数，得到-x＞0，然后代入求解即可．

解答 解（1）：设f（x）=kx+b（k≠0），由f（x+1）+f（x）=2x+3，得k（x+1）+1+kx+b=2x+3
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k=2}\\{k+2b=3}\end{array}\right.$，
解得k=1，b=1，
∴f（x）=x+1，x∈R，
（2）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
∵x∈[0，1]时，g（x）=f（x）=x+1，
∴g（-x）=-x+1，又因为g（x）为偶函数
∴g（-x）=g（x）=-x+1
∴$g（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+1，0≤x≤1}\\{-x+1，-1≤x＜0}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查解析式的求解，考查学生分析问题解决问题的能力．