Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E，连接DE，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OE，OD，推出OE⊥PB，证明OE∥CD，得到PB⊥CD．
（2）由OE，OB，OP两两垂直．以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，
建立空间直角坐标系O-xyz，求出相关点的坐标，求出平面PAD的法向量，平面PBD的法向量为$\overrightarrow m$，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE，则ADEB为正方形，
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，
连接OA，OB，OE，OD，…（2分）
由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD，
所以OA=OB=OD，
即点O为正方形ADEB对角线的交点…（4分）
故OE⊥BD，从而OE⊥平面PBD，所以OE⊥PB，
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD，因此PB⊥CD…（6分）
（2）由（1）可知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为原点，OE方向为x轴正方向，OB方向为y轴正方向，OP方向为z轴正方向，
建立如图所示的直角坐标系O-xyz，…（7分）
设|AB|=2，则$A（-\sqrt{2}，0，0）$，$D（0，-\sqrt{2}，0）$，$P（0，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{AP}=（\sqrt{2}，0，\sqrt{2}）$，…（8分）

设平面PAD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0$，$\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0$，
取x=1，得y=1，z=-1，即$\overrightarrow n=（1，1，-1）$，…（10分）
因为OE⊥平面PBD，设平面PBD的法向量为$\overrightarrow m$，取$\overrightarrow m=（1，0，0）$，
由图象可知二面角A-PD-B的大小为锐角，…（11分）
所以二面角A-PD-B的余弦值为$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直的想知道了的应用，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．