Question

2．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接A₁C₁，A₁B，BC₁，AD₁，AC，CD₁．
（1）求证：A₁C₁∥平面ACD₁；
（2）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，求四面体ACB₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由AA₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁可得四边形A₁ACC₁是平行四边形，故A₁C₁∥AC，从而A₁C₁∥平面ACD₁；
（2）同理与（1）的证明可得BC₁∥平面ACD₁．于是得出平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（3）用正方体的体积减去四个小棱锥的体积即可得出所求几何体的体积．

解答 （1）证明：∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC．
又AC?平面ACD₁，A₁C₁?平面ACD₁，
∴A₁C₁∥平面ACD₁．
（2）证明：∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，
又BC₁?平面ACD₁，AD₁?平面ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁．
又A₁C₁∥平面ACD₁．A₁C₁?平面A₁BC₁，BC₁?平面A₁BC₁，A₁C₁∩BC₁=C₁，
∴平面A₁BC₁∥平面A₁BC₁．
（3）V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=V${\;}_{C-{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$．
∴四面体ACB₁D₁的体积V=a³-V${\;}_{{A}_{1}-A{B}_{1}{D}_{1}}$-V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$-V${\;}_{C-{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$-V${\;}_{{D}_{1}-ACD}$=a³-4V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$=a³-$\frac{2}{3}{a}^{3}$=$\frac{{a}^{3}}{3}$．

点评 本题考查了正方体的结构特征，线面平行，面面平行的判定，棱锥的体积计算，基础题．