Question

2．若函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$的值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{2}$
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根据题意画图，然后令切点为A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出α=tanα，代入所求化简即可求出所求．

解答 解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）与直线有且只有三个交点，
令切点为A（α，-sinα），α∈（π，$\frac{3π}{2}$），在（π，$\frac{3π}{2}$）上，f′（x）=-cosx，
∴-cosx=-$\frac{sinα}{α}$，即α=tanα，
故$\frac{{（1+{α^2}）sin2α}}{α}$=$\frac{（1{+tan}^{2}α）•sin2α}{tanα}$=$\frac{sin2α}{sinαcosα}$=2，
故选：A．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角函数的运算，属于中档题．