Question

14．（Ⅰ）已知奇函数f（x）的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，0]上递减，求满足f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知f（x）为定义在[a-1，2a+1]上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e^x+1，则f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）的解x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得奇函数f（x）在定义域[-2，2]内递减，将f（1-m）+f（1-m²）＜0转化为：f（1-m）＜f（m²-1），再由单调性列出关于实数m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．
（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出a的值，然和根据复合函数单调性可知当x≥0时，函数为增函数，再由偶函数图象在对称区间上单调性相反，可得当x≤0时，f（x）为减函数，则f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）可转化为|2x+1|＞|$\frac{x}{2}$+1|，解得x的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为[-2，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-m≤2}\\{-2≤1-{m}^{2}≤2}\end{array}\right.$，解得-1≤m≤$\sqrt{3}$．①…（3分）
又f（x）为奇函数，且在[-2，0]上递减，
∴f（x）在[-2，2]上递减，
∴f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）⇒1-m＞m²-1，即-2＜m＜1．②…（6分）
综合①②可知，-1≤m＜1…（7分）
（Ⅱ）函数为偶函数，满足-（a-1）=2a+1⇒a=0，…（7分）
所以函数的定义域为[-1，1]，
当x≥0时，f（x）=e^x+1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（2x+1）＞f（$\frac{x}{2}$+1）满足f（|2x+1|）＞f（|$\frac{x}{2}$+1|），…（10分）
所以不等式的解的取值范围是$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x+1≤1}\\{-1≤\frac{x}{2}+1≤1}\\{|2x+1|＞|\frac{x}{2}+1|}\end{array}\right.$…（12分）
⇒-1≤x＜-$\frac{4}{5}$…（14分）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，以及转化思想，解题过程中应注意定义域的取值范围，这是易忘的地方．