Question

19．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数．命题q：当$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}＞\frac{1}{c}$恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）$
• B． $[{\frac{1}{2}，1}]$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出命题p或q为真命题时c的范围，由p或q为真命题，p且q为假命题，得到p与q一真一假，分两张情况考虑：p真q假；p假q真，分别求出c的范围即可．

解答 解：若命题p：函数y=c^x为减函数为真命题，则0＜c＜1，
当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2，（当且仅当x=1时取等号），
若命题q为真命题，则$\frac{1}{c}$＜2，
结合c＞0，可得c＞$\frac{1}{2}$，
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q一真一假，
当p真q假时，0＜c≤$\frac{1}{2}$，
当p假q真时，c≥1，
故c的范围为（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞），
故选：C．

点评 此题考查了复合命题的真假，熟练掌握p∨q与p∧q和命题真假的关系是解本题的关键．